Mama, la habitación ya está ordenada: es un caos

Con esta entrada Hablando de Ciencia participa en la edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas celebrado en Que no te aburran las M@tes.

Desde que el hombre es hombre, mas allá de cualquier tipo de religión o creencia, existe en su interior una curiosidad profunda por el conocimiento de la naturaleza. Siempre hemos tratado de obtener una respuesta determinada y única a cualquier proceso natural, es decir, una respuesta determinista. Al fin y al cabo si, por ejemplo, tiramos un objeto de una cierta masa desde una altura fija, siempre obtendremos la misma velocidad del objeto cuando llegue al suelo, es decir, poseemos una formula definida para explicar el fenómeno. Pero como casi siempre ha pasado en la historia de la ciencia, tiene que llegar alguien y estropearnos estos esquemas tan bonitos que tenemos y que funcionan tan bien. Actualmente, esto puede estar pasando con el famoso experimento de los neutrinos, y en nuestro caso el responsable fue Edward Lorenz, un matemático y meteorólogo estadounidense.

Los inicios de la teoría del caos se remontan a una anécdota entre las investigaciones de Lorenz, quien pretendía predecir el clima. Lorenz tenia un sistema de 12 ecuaciones introducidas en una simulación informática de la época (los años 60) que, si bien no predecía correctamente el clima, daba una probabilidad aceptable del tiempo que podría llegar a  hacer. Un día fue a verificar unos datos usando sus 12 ecuaciones en la computadora, pero en ese momento tenía mucha prisa, y en lugar de introducir los datos con 7 decimales, solo introdujo 3 decimales, lo que llevó a resultados completamente distintos. Se dio cuenta que una mínima  variación en las condiciones iniciales del sistema, conducía a resultados absolutamente diferentes. Por supuesto que al introducir 3 decimales en lugar de 7, los resultados debieran ser distintos, pero también deberían ser  muy parecidos, al fin y al cabo hablamos de unos pocos decimales. Sin embargo, los resultados eran absolutamente diferentes. Acababa de nacer la teoría matemática del caos, la cuál fue en sus comienzos una curiosidad matemática mas que una teoría.

Para ilustrar lo que le ocurrió a Lorenz, supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 7y = 0.70

7x + 10y = 1

La solución a este sistema es x=0, y=0.1

Variemos muy poco las condiciones iniciales del sistema, hagamos, por ejemplo:

5x + 7y = 0.69

7x + 10y = 1.01

Únicamente hemos variado en 0.01 las sumas de ambas ecuaciones, y sin embargo la solución a este sistema es x=-0.17, y=0.22, absolutamente distinta de la solución anterior. Al ser la variación que hemos hecho tan pequeña, ambas soluciones se deberían parecer un poco y sin embargo no es así, difieren por completo, parecen soluciones de sistemas completamente distintos. La teoría del caos es la rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos, en particular, aquellos que son muy sensibles a las posibles variaciones de sus condiciones iniciales.

Como a todas las teorías matemáticas, se le exige la capacidad de predecir de forma correcta cómo evolucionará un objeto dado con el tiempo, y además tiene que hacerlo de forma precisa. Había que dar una respuesta coherente a estos fenómenos. Como ya dijimos en el articulo sobre los fractales, conocemos perfectamente muchos procesos naturales como el movimiento de los planetas o la composición química de las cosas pero desconocemos total o parcialmente el motivo de otros muchos, como por ejemplo los procesos meteorológicos, los cuales son tan complejos que no son resolubles mediante formulas matemáticas. Simplemente mirando a nuestro alrededor, nos damos cuenta de que nuestro entorno tiende naturalmente al desorden: un vaso de cristal se cae y se rompe en mil pedazos pero nunca sucede al revés. Si tiramos una piedra a un río no afectamos su cauce, pero si el río estuviera compuesto de moléculas perfectamente ordenadas, la piedra destruiría el curso natural de su cauce.

La teoría del caos empieza a tomar forma y consistencia  matemática cuando adopta a los fractales como objetos geométricos. Hemos dicho que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de algunos sistemas hacen que este evolucione de forma no predecible, pero podemos visualizar este movimiento caótico haciendo un diagrama de fases del movimiento, por ejemplo. Algunas veces no podemos dibujar estos diagramas, pero el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento más o menos definido, el cual llamamos atractor.  El atractor es el tipo de movimiento al cuál tiende el sistema caótico, es decir, el conjunto al cuál el sistema evolucionará después de un tiempo suficientemente grande. Además, para que un conjunto sea un atractor, el movimiento del sistema debe permanecer cerca de él incluso si lo perturbamos levemente. Por ejemplo, el movimiento de un péndulo oscilando tiende al punto medio de su trayectoria, debido al rozamiento con el aire. En este caso decimos que el atractor es un punto. Sin embargo, cuando un crupier lanza una bolita sobre una ruleta, la bolita siempre acaba dando vueltas, por lo que en este caso el atractor del sistema es el movimiento circular. Aunque en estos casos perturbemos la trayectoria del péndulo o de la bolita levemente, al final el péndulo acabara en el punto parado y la bolita dando vueltas alrededor de la ruleta.

Atractor de Lorenz

En estos ejemplos simples, somos capaces de predecir fácilmente cual será el atractor porque son objetos mas o menos cotidianos, pero la filosofía es la misma para sistemas mas complejos, como por ejemplo en las ecuaciones dinámicas que rigen la atmósfera terrestre. Para ciertos parámetros de estas ecuaciones, el sistema exhibe un comportamiento  caótico, cuyo atractor es el atractor de Lorenz, un fractal de dimensión entre 2 y 3. A estos atractores con dimensión no entera se les denomina atractores extraños.

 Esta teoría se usa frecuentemente en modelos meteorológicos y actualmente se investiga la relación entre la teoría del caos y la física cuántica, debido a la evolución desde el desorden al orden de algunas propiedades de las partículas subatómicas. También la medicina estudia la aplicación de la teoría del caos considerando que el corazón humano es un sistema dinámico.

No debemos confundir la teoría del caos con el azar. Hay veces que del mas absoluto caos surge el orden. Seguramente, todos hemos tenido alguna vez nuestro escritorio completamente desordenado y, al ordenarlo, es cuando no hemos podido encontrar algo que estábamos buscando y siempre encontrábamos en el supuesto caos inicial.

Me van a permitir que concluya el artículo pidiéndoles un favor: no regañen ustedes a sus hijos si tienen el dormitorio hecho un caos. Para ellos, todo está en orden.

José David Villanueva García

Hablando de Ciencia