Euclides, flores y mercados financieros.

La palabra «fractal» viene del latín «fractus» y significa irregular, roto. Un fractal es un objeto geométrico compuesto de distintos elementos que también son geométricos pero con una particularidad: la geometría de estos elementos tiene naturaleza recursiva, es decir, los diferentes elementos que componen el fractal tienen todos exactamente la misma forma, pero a diferente escala. El término fue propuesto por el matemático polaco Benoît Mandelbrot en 1975 .

Veamos un ejemplo de esto con un fractal clásico, el conjunto de Cantor. Partimos de un segmento de la recta real, por ejemplo el intervalo C = [0,1]. Ahora, dividimos el segmento en tres intervalos iguales, de tamaño 1/3 y borramos el central. Ahora tenemos dos intervalos abiertos. Volvemos a dividir cada segmento en tres partes iguales borrando la parte central en cada paso y obtenemos el conjunto de Cantor.

Fue Benoît Mandelbrot quien, en el año 1982, describe en su libro Fractal Geometry of Nature un nuevo tipo de geometría: la geometría fractal.

Como en toda geometría que se precie, podremos entonces medir objetos dentro de ella. Para ello hubo que introducir otros conceptos que se alejaban de los conceptos clásicos de geometría, ya que, por ejemplo, en los fractales el concepto de longitud no tiene sentido.  Por ello, se ideo el concepto de dimensión fractal, que es una generalización de la dimensión euclídea. En la geometría euclídea cotidiana, tenemos objetos de dimensión 0  (el punto), de dimensión 1 (las rectas), de dimensión 2  (los planos),  etc. En la geometría fractal definimos la dimensión de otra manera.

Tomamos un objeto de dimensión D en el espacio euclídeo, por ejemplo una linea, un cuadrado o un cubo. En cada paso, lo reducimos linealmente en una escala 1/r en cada dirección espacial. Por ejemplo, la recta solo podemos reducirla en una dirección espacial partiendo la recta  por la mitad. Haciendo esto N veces tenemos entonces N = r^D veces la figura original. Tomando ahora logaritmos a ambos lados de la igualdad, tenemos que log(N) = D log(r), por lo que si resolvemos la ecuación para D, tenemos que D = log(N)/log(r). Si aplicamos esta ecuación a la estructura fractal, nos damos cuenta que la dimensión de un fractal no tiene por que ser necesariamente un numero entero.

Actualmente se investiga la aplicación de los fractales en diferentes ámbitos de la ciencia, como en el de la compresión de imágenes digitales, en el modelado de trafico en redes, en la convergencia de métodos numéricos, en medicina. En este ultimo campo, se utilizan técnicas fractales para predecir la osteoporosis y para el estudio del cerebro, cuya dimensión fractal se ha estimado mayor que 2.

Pero donde más avances se están haciendo con el uso de las técnicas fractales es en el campo del análisis financiero de mercados. Tradicionalmente, los modelos de mercado financieros no son capaces de explicar ni de predecir movimientos bruscos del mercado, como por ejemplo las crisis económicas. Según estos modelos, el mercado seguiría en el futuro los dictados de un modelo lineal, es decir, sin recordar lo que ha pasado en tiempos anteriores, por lo que usan la estadística y la econometría para hacer análisis y predicciones. El fallo está en que para poder realizar estos estudios estadísticos es necesario que los activos (básicamente, un activo es todo aquello que una persona o empresa posee o le deben) estén idénticamente distribuidos con una distribución normal y sean independientes entre sí, cosa que raramente sucede. Por lo tanto, nos encontramos con información ruidosa, no simétrica y, lo que es peor, vemos que la información que tenemos hoy tiene claros efectos en el futuro. Para hacer frente a estos problemas, se puede acudir a la geometría fractal ya que podremos definir formas y procesos de gran complejidad por medio de reglas simples.

Por ejemplo, en economía  las series de tiempo son sucesiones estadísticas de los valores de una variable a lo largo del tiempo. En  macroeconomía son muchas las variables que se presentan como series de tiempo, como el producto nacional bruto, las exportaciones, las importaciones, indices de precios, liquidez. Estas series de tiempo no llegan a cubrir totalmente todo el espacio que las contiene , por lo que su dimensión esta entre 1 y 2, ya que estas series son más que una linea, pero son algo menos que un plano. Si aplicamos en este caso la dimensión fractal, nos dará una medida mas ajustada a la realidad que la varianza para poder comparar el riesgo de distintos activos y obtener mayor rendimiento a las inversiones.

Intentar ganar dinero aplicando la geometría fractal está muy bien, pero conociendo su estructura básica nos damos cuenta que existen en la naturaleza muchas estructuras fractales maravillosas y sorprendentes. Una caracola tiene estructura fractal, nuestros bronquios también, el cauce de un río, un helecho, un árbol, incluso algunas galaxias tienen estructura fractal.

Por lo tanto, nos encontramos delante de una relativamente nueva rama de las matemáticas, cuyas aplicaciones  mas importantes son todavía inciertas, aunque ya hace casi 20 años, en la obra de Tom Stoppard estrenada en 1993, Arcadia, la geometría fractal tiene su momento estelar en la obra. La protagonista, la matemática Tomasina, dice a su profesor Séptimo:

“Cada semana represento tus ecuaciones punto por punto, x frente a y en todos los modos de relación algebraica, y cada semana se dibujan como geometría corriente, como si el mundo de las formas no fuera otra cosa que arcos y ángulos. Por la verdad de Dios, Séptimo, si hay una ecuación para una curva en forma de campana, también debe haber una ecuación para una campánula, y si la hay para una campánula, ¿por qué no para una rosa?. Creemos que la naturaleza se escribe con números, y sin embargo, ¿por qué tus formas describen sólo la manufactura?. Con esas armas, Dios sólo podría haber construido un armario.”

Los fractales son los objetos matemáticos que constituyen la geometría de la Teoría del Caos, pero eso es otra historia.

Jose David Villanueva Garcia.

Hablando de Ciencia