Por favor, ¿quién es el último?

La cantidad de veces que me he preguntado cuánto tiempo perdemos cada año haciendo colas. Hacemos cola en los supermercados, en el aeropuerto, en bancos, en los atascos de las carreteras de las grandes ciudades, y perdemos años de nuestra vida. Este fenómeno es objeto de estadísticas, cálculos y simulaciones realizadas por ordenador. Todo ello destinado a hacer la espera más corta en las colas donde aguardamos.

Los matemáticos que estudian cómo hacer más pequeños los tiempos de espera en colas, lo hacen investigando en la rama de las matemáticas denominada teoría de colas. Fue al ingeniero Agner Krarup Erlang, de la compañía telefónica de Copenhague, al que se le ocurrió utilizar la reina de las ciencias, las matemáticas, para buscar una solución práctica y poder reducir el tiempo de espera en las colas. Además, de esa forma, se podría mejorar el servicio prestado por los comercios y establecimientos.

Además de las colas cotidianas que hemos comentado al inicio, existen otro tipo de colas, como por ejemplo la secuencia de órdenes que espera un ordenador para ser ejecutadas, o los mensajes que se envían por Internet, e incluso podemos considerar colas a la secuencia de glóbulos rojos, blancos y plaquetas que transitan por centenares de encrucijadas de venas y arterias.

En la formación de colas existe un factor que es fundamental: la casualidad. Los cálculos serían muy simples si supiéramos cuándo llegarán los clientes a una cola, cuántos clientes van a ser y cuánto tiempo va a durar la consulta. Claro, esto no es así, y se empiezan a recibir más peticiones de las que se pueden atender, por lo que se forma la cola. Pero podemos aplicar la estadística para predecir y controlar el número de clientes y el tiempo que van a pasar en la cola. Pero, ¿se pueden predecir hechos que son casuales? Podemos elaborar modelos matemáticos que describan el sistema estudiado, como por ejemplo un banco, o una oficina de correos y con las estadísticas en la mano, se puede predecir cuántas ventanillas se necesitan para atender de forma satisfactoria a los clientes, manteniendo el margen de beneficio.

Una de las fórmulas más famosas y representativas de la teoría de colas es la llamada Fórmula de Little, y es la siguiente:

Fórmula de Little

Es una fórmula sencilla, donde N es el número medio de la gente (o elementos) de una fila, lambda, el número medio de las  personas que llegan en un momento determinado, y T, el tiempo medio que alguien permanece en la fila. Con esta fórmula podemos explicar, por ejemplo, por qué cuando llueve hay más tráfico: suponiendo que el número de vehículos que se ponen en marcha (lambda, en la fórmula) es constante, al aumentar el tiempo de recorrido por culpa de la molesta lluvia, el parámetro T de la fórmula aumenta. De esta manera, N aumenta también, es decir, el número de vehículos en la carretera es mayor.

Otro ejemplo, lo tenemos en la siguiente pregunta: ¿por qué tenemos siempre la impresión de habernos puesto en la fila equivocada? ¿Por qué nos parece que las demás colas siempre avanzan más que la nuestra? ¿Somos víctimas de la mala suerte o existe una razón matemática para ello?. Casi siempre (exceptuando un mal servicio por parte de establecimiento) las colas avanzan todas igual de rápidas, es decir, el efecto es psicológico. Supongamos que tenemos N cajas.  La probabilidad de elegir la caja más rápida es, entonces, una entre N. Pero, la probabilidad de que nuestra cola avance más rápido que las colas que tenemos a ambos lados es una entre tres, es decir, es mayor. Por lo tanto, si elegimos una fila en un extremo, tendremos el efecto psicológico de que una de cada dos veces avanzamos más deprisa que la cola de al lado.

Por lo tanto, hemos establecido una curiosa relación entre dos disciplinas que parecían completamente aisladas entre sí: las matemáticas y la psicología. Y los efectos de esta relación son bastante evidentes, como se pudo comprobar en el aeropuerto de Houston, en Texas, hace algunos años¹. Los pasajeros del aeropuerto se quejaban constantemente de la excesiva espera que había que realizar para recoger el equipaje. Después de la intervención de los matemáticos aplicando la teoría de colas, el tiempo de espera se redujo 8 minutos. No obstante, las protestas continuaron con la misma virulencia que al principio, y ni los matemáticos ni los empleados del aeropuerto entendían el por qué, ya que se había optimizado la cola considerablemente y el servicio había mejorado sustancialmente gracias a las matemáticas.  Hasta que contrataron los servicios de una psicóloga quien no tardó mucho en comprobar que, cerca de la cola de espera, había una mampara de cristal. A través de ésta, los clientes que estaban esperando en la cola para recoger el equipaje, podían observar cómo los pasajeros que sólo llevaban equipajes de mano, tomaban un taxi uno detrás de otro a una velocidad vertiginosa. Bastó entonces con situar la retirada de equipajes en un punto más alejado de la salida, y las protestas  dejaron de producirse de inmediato.

Para concluir, Myron Hlynka, del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Windsor, nos da unos consejos en clave de humor llamados axiomas de Wright:

1. Si puedes elegir entre esperar aquí o esperar allí, mejor espera allí.
2. Si las cosas van como tienen que ir, es mucho mejor ser el primero de la fila.
3. No hay razón para esperar al final de una cola. Pero no olvidemos la llamada paradoja de Wright: si no se espera al final de una cola, nunca estará el primero.

José David Villanueva

 Referencias:

1.- Richard Larson, Instituto de Tecnología de Cambrigde, Massachusetts.

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