¿Qué es una demostración matemática? [1/3]

Uno de los primeros impactos que recibe un alumno de primer curso de Matemáticas nada más pisar la Universidad es que, de repente, pasa de tratar con unas matemáticas que en la mayoría de los casos se limitan a relatar métodos de resolución que uno simplemente se cree y aplica, a otras muy diferentes en las que se exige que cada afirmación que se haga vaya acompañada de su correspondiente demostración. Y no sólo esto, sino que se exige que el alumno realice demostraciones por sí mismo, cosa que tenga uno el nivel previo que tenga, siempre es difícil de aprender.

Una foto de las caras de los alumnos de Análisis Matemático I cuando en las primeras clases el profesor demuestra en la pizarra que 1 es mayor que 0 desde luego no tendría precio. Sin embargo, cuando uno avanza en la carrera, termina convirtiéndose en una especie de profesional del escepticismo y ya no es capaz de dormir tranquilo cuando alguien tiene la osadía de explicarle algo argumentando simplemente que eso es así.

Habitualmente, cuando alguien piensa en las matemáticas (a veces ocurre), la idea general que se hace acerca de ellas es que son un conjunto de reglas que nos permiten encontrar soluciones a determinados problemas matemáticos. Por supuesto que esta idea acerca de las matemáticas no es incorrecta, pero sí incompleta.

El matiz está en que si uno encuentra una forma de resolver un problema, no puede contentarse sólo con comprobar que ésta funciona para una serie determinada de casos, sino que debe asegurarse de que la teoría que ha desarrollado se cumplirá en cualquier otra situación de la misma naturaleza. Y más aún, también debe comprobar que ese método de resolución no entra en contradicción con otras partes de las matemáticas, pues no tendría sentido que para resolver un problema se tire por tierra la resolución de otros. Estaremos de acuerdo en que, si esto ocurriera, no habría manera de construir una teoría matemática de un modo coherente. Es por esto que en matemáticas no basta con encontrar enunciados que permitan resolver algún problema, sino que además se exige que cualquier afirmación que se haga debe ser demostrable y, por supuesto, demostrada.

Demostrar una afirmación consiste básicamente en comprobar que es coherente con las reglas lógicas que hacen funcionar toda la teoría matemática, y que no contradice ninguna otra afirmación que previamente se haya demostrado que es cierta. Utilizando una terminología más formal, cuando decimos que las afirmaciones en matemáticas han de ser demostrables y que no puede haber afirmaciones contradictorias, estamos diciendo, respectivamente, que las matemáticas  han de ser completas y consistentes.

En cierta forma, los matemáticos son unos auténticos desconfiados que no se creen nada de lo que les dicen, a no ser que se pueda demostrar de una forma irrefutable. Desde luego que esta no es una característica exclusivamente suya, de hecho está en la propia naturaleza del método científico el cuestionárselo todo y exigir pruebas que confirmen que lo que uno afirma funciona y tiene sentido, pero la necesidad de demostrar hasta lo que nos pueda parecer insignificante cobra en las matemáticas una importancia fundamental.

De hecho, los matemáticos son tan desconfiados que la propia afirmación que me he atrevido a hacer (las matemáticas son completas y consistentes) fue también objeto de estudio. Y para sorpresa de todos,Kurt Gödel demostró que no es completamente cierta, pues en ciertas condiciones una teoría matemática puede contener afirmaciones que no pueden ni demostrarse ni refutarse (Teoremas de Incompletitud de Gödel).

Por suerte el descubrimiento de Gödel nos indica que ni siquiera las matemáticas son absolutamente perfectas, pero no nos impide formular teorías coherentes que funcionen bien.

Pero, ¿cómo se construyen estas teorías? ¿Cuáles son los elementos que utilizan los matemáticos para formularlas? En la segunda entrega de esta entrada encontrarán la respuesta a esta y otras preguntas que nos permitirán comprender qué es una demostración matemática. No se la pierdan.

Javier Oribe

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