• Dos circunferencias cuyos centros estén a una distancia menor que sus radios se cortan en dos puntos.
• Dos triángulos con dos lados iguales y dos ángulos comprendidos también iguales son congruentes.

Partiendo de estas siete afirmaciones, podemos deducir todos los teoremas que forman la Geometría Euclídea, como por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo da siempre 180 grados, el Teorema de Thales, etcétera.

Los axiomas, por su propia naturaleza, son las verdades absolutas de las que se parte para crear una teoría, pero esto no significa que sean intocables. Un conjunto determinado de axiomas forman la base de una teoría determinada, pero si se modifica uno de ellos, aunque sea mínimamente, podemos construir otra teoría completamente nueva en la que las reglas serán diferentes. Un ejemplo bastante ilustrativo acerca de esto lo podemos encontrar sorprendentemente en el mundo del deporte.
Según la tradición del Rugby, en 1823 durante un partido de fútbol William Webb Ellis, harto de darle patadas al balón, lo cogió con las manos y lo llevó hasta la línea de gol. Mr. Ellis había modificado una de las reglas del fútbol (un axioma), que dice que «no se puede tocar el balón con la mano», cambiándola por otra que dice «el balón puede ser jugado con las manos o con los pies indistintamente». El resultado fue espectacular, pues a todo el mundo le pareció muy interesante la posibilidad de agarrar el balón con los brazos y lanzarse contra una masa de contrarios dispuestos a aplastarlo contra el suelo. Pero había una cosa clara: aquello ya no era fútbol, era algo completamente nuevo y distinto. Lo que hizo el bueno de Ellis fue nada más y nada menos que inventar el rugby.
Pues exactamente lo mismo se puede hacer en matemáticas, y de hecho, en las matemáticas modernas es algo que ocurre con frecuencia y que ha permitido el desarrollo de disciplinas completamente nuevas, como por ejemplo la que se obtiene al modificar el quinto axioma de Euclides para que diga «por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a ésta». Lo único que hay que tener en cuenta es que todos los teoremas que deduzcamos utilizando este nuevo axioma tienen que ser coherentes con él y con todos los demás, y si esto ocurre, la nueva teoría será completamente válida.
Así, mediante esta simple modificación, aparentemente sin importancia, se obtiene una geometría completamente nueva, que funciona perfectamente y en la que no existen las rectas paralelas. Esta teoría se conoce como Geometría Esférica o de Riemann, con propiedades distintas de la de Euclides, y que aunque pueda parecer un mero entretenimiento de matemáticos aburridos en realidad tiene muchas e importantes aplicaciones en ingeniería, topografía, cartografía y otras cosas que acaban en -ía.