¿Qué es una demostración matemática? [3/3]

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Terminemos nuestra explicación sobre demostraciones con un ejemplo. Ya que lo hemos mencionado, demostremos algo que parece tan trivial como que 1>0 (por muy obvio que parezca, 1>0 no es un axioma, y por tanto no podemos suponer que es cierto así como así: hay que demostrarlo).

Lo primero es situarnos. Estamos estudiando el conjunto de los números reales, que para entendernos lo forman cualquier tipo de número que se nos ocurra (excepto los complejos), como el 4, el -3, el 14’27, el 18/33 o el 0,232442355424656521542345734852…,  y sabemos además que en los números reales se cumplen los siguientes axiomas:

  • El 0 es distinto del 1.
  • Si tengo dos números a y b tales que a>b, al multiplicarlos por un tercer número c que sea menor que 0 ocurre que se invierte el sentido de la desigualdad, y así queda a·c<b·c (un ejemplo con números: tenemos que 3>2, pero si multiplicamos ambos por -1 se invierte el sentido de la desigualdad y queda -3<-2).

Una buena técnica para hacerlo será ver qué ocurriría si lo cierto fuese lo contrario, es decir, si fuera 1<0 (esta técnica de demostración se llama reducción al absurdo). Si multiplicamos esta desigualdad por un número menor que cero, por ejemplo c, por el segundo axioma la desigualdad deberá quedar c·1>0·c . Como el axioma nos permite que el número c sea cualquiera (mientras que sea menor que cero), nada nos impide elegir por ejemplo el propio 1, pues hemos supuesto es menor que cero. Así pues, multiplicando 1<0 por 1, cambiará el sentido de la desigualdad y quedará que 1>0.

¿Qué ha pasado? Pues que hemos probado que si uno fuese menor que cero, también debería de ser uno mayor que cero. Como la única posibilidad de que un número sea a la vez mayor y menor que otro es que ambos números sean exactamente el mismo, obtenemos que 1=0 (no queda otra, piénsenlo bien). Pero esto contradice el primer axioma, que dice que 1 es distinto de cero, por lo que es imposible que en la teoría de los números reales, que es en la que estamos, sea cierto que 1=0, y por tanto, la suposición de la que hemos partido (1<0) debe ser necesariamente falsa. Así, sólo nos queda una posibilidad, y es que sea 1>0.

No se preocupen, yo puse la misma cara de póquer la primera vez que lo vi.

Javier Oribe
5 Comentarios
  • Pingback:¿Qué es una demostración matemática? [2/3] | Hablando de Ciencia
    Publicado el 20:17h, 09 septiembre Responder

    […] · Ir a parte 3 >   […]

  • Santiago Perez Romero
    Publicado el 08:46h, 10 septiembre Responder

    Gracias Javier, hoy he aprendido un poquito más…

  • meri
    Publicado el 11:22h, 10 septiembre Responder

    Muy bien explicado!
    Me voy a la parte 2.

  • andy
    Publicado el 11:06h, 16 septiembre Responder

    Fantastico javier,….buena clase.

  • Jesús
    Publicado el 22:29h, 08 octubre Responder

    Curioso…Pero y el número que es menor que 0 ,¿como se demuestra que es menor que 0?

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