¿Quiere usted ganar un millón de dólares?. Números primos, Riemann y mensajes cifrados

Desde que a muy temprana edad en el colegio, entramos en contacto con las matemáticas, escuchamos a los profesores hablar de los números primos. Muchos de nosotros, seguramente nos recordemos a nosotros mismos, bastante pequeños, obteniendo los factores primos de un número (es decir, factorizando el número).

Factorización numérica

Recordemos que los números primos son los números naturales mayores que 1, cuyos únicos divisores son él mismo y el 1. Números primos son, por lo tanto, 2, 3, 5, 7, 11, etc. (la comunidad matemática suele excluir de la lista el numero 1).  Adentrándonos poco a poco en esta selecta secuencia, nos topamos con la propia teoría de números y descubrimos propiedades de los números primos que se estudiaron hace más de 2000 años.

En el año 300 antes de Cristo, Euclides demuestra que hay infinitos números primos. Posteriormente, en el año 236 antes de Cristo, Eratóstenes descubre una criba que lleva su nombre, la cual nos proporciona un algoritmo para determinar los números primos menores a un número natural dado. Ya en el siglo XVIII, los estudios de ilustres matemáticos como Gauss y Legendre, conducen al teorema de los números primos, el cual nos da la cantidad de números primos menores a un número dado. Un poco más tarde, Leonard Euler relaciona los primos con los números enteros en una fórmula maravillosa. Entonces, sale a colación el nombre de un matemático: Bernhard Riemann.

En 1896, en una pequeña aldea de Alemania, nace Bernhard Riemann. Después de estudiar filosofía, teología y fundar una nueva geometría (la geometría de Riemann), formula por primera vez uno de los problemas más importantes de las matemáticas puras, la llamada “hipótesis de Riemann”.

A partir del trabajo de Euler, Riemann establece una conexión entre la función compleja Zeta de Riemann y el producto de Euler. Sea s > 1 un número complejo y p un número primo. Tenemos:

Hipótesis de Riemann

Si nos fijamos atentamente en esta fórmula, veremos que no es tan difícil de entender como pueda parecer a simple vista. Nos dice, que una determinada suma infinita es igual a una determinada multiplicación infinita. La suma infinita es la función Zeta de Riemann y la multiplicación infinita es el producto de Euler. Son los ceros no evidentes de esta función los que, en teoría, tienen la clave de cómo se distribuyen los números primos en la recta real, la clave para descubrir el patrón de estos misteriosos números, en definitiva, la clave para comprender algunos de los sistemas para el envío de mensajes secretos cifrados.

Los números primos son usados en algunos sistemas de cifrado de mensajes, como el RSA (Rivest, Shamir, Adleman). Este es un sistema de cifrado de los llamados de clave pública y funcionan de la siguiente forma: supongamos que usted quiere enviarme un mensaje secreto, un mensaje que únicamente yo pueda leer. Entonces yo le envío a usted un cofre con una cerradura, pero se lo envío abierto. Usted recibe el cofre, escribe el mensaje, lo mete dentro del cofre, lo cierra con la cerradura (ahora ni usted mismo puede leer el mensaje que ha escrito) y me envía el cofre a mi. Cuando me llega, lo abro con mi llave y leo el mensaje. La clave pública es el cofre con la cerradura abierta y la clave privada es la llave para abrir el cofre.

Algorítmo RSA

La seguridad de estos sistemas se basa en el problema de hallar los factores primos de un número entero muy grande. Básicamente, se escogen dos números primos muy grandes y se multiplican entre si, algo que es muy fácil para cualquier computador. Después de algunas operaciones sencillas, se obtiene una clave pública y otra privada para descifrar el mensaje. Lo que no es tan sencillo es hallar los dos factores primos originales que hemos multiplicado, es decir, factorizar el número. El ordenador podrá hacerlo, pero puede tardar miles de años en conseguirlo.

Por este motivo (y otros) son tan importantes los números primos, porque en ellos se basan  algunos de los sistemas de cifrado actuales. Demostrar que la hipótesis de Riemann es correcta, apenas influye en la práctica, ya que los sistemas suponen que la hipótesis es cierta y actúan en consecuencia, pero su demostración puede crear potentes demostraciones y herramientas matemáticas nuevas.

Sin embargo, el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares a quien consiga demostrar la validez o no de la hipótesis de Riemann.

Sin darnos cuenta, hemos pasado de factorizar números en la escuela, a sistemas para enviar mensajes secretos, y hemos terminado en la posibilidad de ganar un millón de dólares, haciéndonos un hueco en la historia demostrando la hipótesis de Riemann, un problema que algunos consideran el mayor reto matemático al que se enfrenta el pensamiento humano.

¿Alguno de ustedes se anima a intentarlo?.

José David Villanueva García

Hablando de Ciencia