Seamos ilustres matemáticos por un momento

Imaginemos una circunferencia. Pongámosle como radio la unidad. Ahora tracemos una línea recta desde el centro al borde. Dicha línea medirá 1, ya que es un radio.

Dividamos el círculo en cuatro sectores iguales. Las líneas divisoras son cuatro nuevos radios horizontales y verticales.

Formemos un triángulo usando la primera línea y uno de los cuatro radios divisores, de forma tal que se cree un ángulo recto entre el nuevo lado y el divisor escogido.

Llamemos a ese nuevo lado seno del triángulo y al que se apoya en el radio divisor, coseno. De esa manera tenemos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es 1 y los catetos son el seno y el coseno.

Ahora midamos la longitud del seno y el coseno. Anotemos estas longitudes para poder hacer una comparación más tarde.

Estiremos el coseno y la hipotenusa. Esto hará que también crezca el seno. Como los valores han cambiado, cambiemos también los nombres.

En este triángulo mayor, midamos de nuevo los tres lados.

En principio parece no haber relación con las medidas anteriores. Pero probemos una cosa.

Como lo que hemos hecho es una escala del triángulo inicial, y una escala no es más que una proporción, busquemos proporciones (sólo hay que dividir).

Empecemos con la hipotenusa. ¿Qué proporción representa A respecto a H?

Si lo repetimos en el primer triángulo:

Puede ser casualidad. Busquemos algo más. Vayamos a por el lado B.

Parece que hay alguna relación. Probemos con los dos catetos.

Nos encontramos con que la proporción entre los catetos de ambos triángulos se mantiene (el resultado de las divisiones es el mismo). Llamemos a esta proporción tangente.

Como estamos tratando con triángulos rectángulos, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Sigamos poniendo nombre a las cosas y démosle a esta fórmula el título de «Igualdad fundamental de la trigonometría«.

Pero, ¿qué pasa si movemos el primer radio dibujado, cambiando el ángulo que gorma con el lado divisor?

El seno ha crecido mientras que el coseno ha disminuido. La hipotenusa sigue siendo 1, ya que es el radio.

Repitamos todo el proceso y comprobemos cómo se mantienen las proporciones anteriores para los nuevos valores de seno y coseno.

O sea, que los valores de seno y coseno dependen del ángulo, pero sea cual sea ese ángulo podemos usar las mismas proporciones para conocer dichos valores, en cualquier triángulo rectángulo que estudiemos.

He aquí una de las más bonitas y útiles deducciones del mundo de las matemáticas, cuyas aplicaciones tienen por límites los de nuestra propia imaginación.

Nota: Los signos de exclamación en las proporciones no tienen significado matemático.

Adrián Fernández

Hablando de Ciencia