Seamos ilustres matemáticos por un momento

Imaginemos una circunferencia. Pongámosle como radio la unidad. Ahora tracemos una línea recta desde el centro al borde. Dicha línea medirá 1, ya que es un radio.

 

Dividamos el círculo en cuatro sectores iguales. Las líneas divisoras son cuatro nuevos radios horizontales y verticales.


Formemos un triángulo usando la primera línea y uno de los cuatro radios divisores, de forma tal que se cree un ángulo recto entre el nuevo lado y el divisor escogido.

 

Llamemos a ese nuevo lado seno del triángulo y al que se apoya en el radio divisor, coseno. De esa manera tenemos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es 1 y los catetos son el seno y el coseno.

Ahora midamos la longitud del seno y el coseno. Anotemos estas longitudes para poder hacer una comparación más tarde.

 

 

Estiremos el coseno y la hipotenusa. Esto hará que también crezca el seno. Como los valores han cambiado, cambiemos también los nombres.

 

 

 

En este triángulo mayor, midamos de nuevo los tres lados.

En principio parece no haber relación con las medidas anteriores. Pero probemos una cosa.

Como lo que hemos hecho es una escala del triángulo inicial, y una escala no es más que una proporción, busquemos proporciones (sólo hay que dividir).

Empecemos con la hipotenusa. ¿Qué proporción representa A respecto a H?

Si lo repetimos en el primer triángulo:

Puede ser casualidad. Busquemos algo más. Vayamos a por el lado B.

Parece que hay alguna relación. Probemos con los dos catetos.

Nos encontramos con que la proporción entre los catetos de ambos triángulos se mantiene (el resultado de las divisiones es el mismo). Llamemos a esta proporción tangente.

 

Como estamos tratando con triángulos rectángulos, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Sigamos poniendo nombre a las cosas y démosle a esta fórmula el título de «Igualdad fundamental de la trigonometría«.

 

Pero, ¿qué pasa si movemos el primer radio dibujado, cambiando el ángulo que gorma con el lado divisor?

El seno ha crecido mientras que el coseno ha disminuido. La hipotenusa sigue siendo 1, ya que es el radio.

Repitamos todo el proceso y comprobemos cómo se mantienen las proporciones anteriores para los nuevos valores de seno y coseno.

 

O sea, que los valores de seno y coseno dependen del ángulo, pero sea cual sea ese ángulo podemos usar las mismas proporciones para conocer dichos valores, en cualquier triángulo rectángulo que estudiemos.

He aquí una de las más bonitas y útiles deducciones del mundo de las matemáticas, cuyas aplicaciones tienen por límites los de nuestra propia imaginación.

Nota: Los signos de exclamación en las proporciones no tienen significado matemático.

Adrián Fernández

10 Comentarios
  • felixdiaz
    Publicado el 10:30h, 26 diciembre Responder

    Para mí, la trigonometría siempre me ha parecido la rama más erótica de las matemáticas. Eso del seno y el coseno… por no hablar de la forma de la función.
    Y, claro está, me voy por la tangente.

    • adnandez
      Publicado el 10:59h, 26 diciembre Responder

      Yo tampoco sé en qué estaba pensando el que puso los nombres 😀
      Aunque tengo que decir que las matemáticas, lo que se de dice eróticas… no me han parecido nunca, jaja.

  • Bitacoras.com
    Publicado el 10:39h, 26 diciembre Responder

    Información Bitacoras.com…
    Valora en Bitacoras.com:   Imaginemos una circunferencia. Pongámosle como radio la unidad. Ahora tracemos una línea recta desde el centro al borde. Dicha línea medirá 1, ya que es un radio.   Dividamos el círculo en cuatro sectores iguales. Las línea…..

  • Pingback:Seamos ilustres matemáticos por un momento
    Publicado el 10:57h, 26 diciembre Responder

    […] Ésta es mi nueva colaboración en Hablando de ciencia: […]

  • Javier Oribe
    Publicado el 11:50h, 26 diciembre Responder

    Bueno, eso de que no hay erotismo en las matemáticas, no sé yo… fijaos en el himno de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla y me contáis:
    http://area71bis.blogspot.com/2009/02/himno-de-matematicas.html
    😀

    • José David
      Publicado el 12:38h, 26 diciembre Responder

      Hola. Buenísima la explicación de los conceptos básicos de la trigonometría, un 10. También buena nota al del himno, estoy deseando oir la música.
      Saludos.

    • felixdiaz
      Publicado el 12:47h, 26 diciembre Responder

      Sobre el mismo tema, se dice que la mujer es la ecuación perfecta, pues eleva el miembro a su máximo exponente, luego lo encierra entre corchetes, le saca el factor común y lo deja reducido a su mínima expresión.

      • Adrián Fernández
        Publicado el 13:16h, 26 diciembre Responder

        Esto está subiendo de tono… jaja
        Al final los matemáticos van a ser todos unos donjuanes. Para que luego digan de los de ciencias…

    • Adrián Fernández
      Publicado el 13:14h, 26 diciembre Responder

      Javi, después de ver eso, retiro lo dicho, jaja.
      Muy bueno el himno 😉

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