Esferas, planos y ¿rosquillas?

Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Hablando de Ciencia.

La Topología es una de las ramas más jóvenes de las matemáticas, ya que surge en el siglo XVII, a diferencia de otras ramas como el álgebra o la geometría, que surgen en tiempos mucho más antiguos. De manera muy resumida, la Topología estudia las propiedades de los objetos geométricos, sin tener en cuenta la distancia entre sus puntos. Es decir, básicamente, la Topología despoja a la geometría de la capacidad de medir. Entonces, si sobre un objeto geométrico, como por ejemplo una superficie, no podemos medir, ¿qué propiedades de los objetos matemáticos podemos tener en cuenta que sean interesantes?.

Vamos a ilustrar esto con un ejemplo: supongamos que se encuentra usted en la ciudad de sus sueños, como turista, y es la primera vez que está usted en ese lugar. Lo primero que hace al encontrarse en esta situación, es comprar un mapa de la zona en la oficina turística más cercana. Evidentemente, en este mapa se encuentran todas las calles del lugar determinado, y todos los sitios con mayor interés turístico, es decir, con ese mapa tenemos el problema de la orientación solucionado, ya que podemos movernos tranquilamente por la ciudad sin perdernos, y disfrutar de ella. Supongamos ahora que, lamentablemente perdemos el mapa, y compramos otro urgentemente, pero en esta tienda sólo tienen mapas el triple de grandes que el primero que compramos.

Esto quiere decir, que veremos con más detalle el nombre de las calles,  estarán mas separadas entre sí, pero esencialmente, la información que nos da este nuevo mapa es la misma que el primero que adquirimos, aunque sea tres veces mas grande, es decir, aunque esté en otra escala distinta. Porque lo que realmente nos importa para orientarnos, es que los lugares estén situados correctamente los unos con respecto a las otros. Por mucho que nos empeñemos en estirar o contraer el mapa, mientras la información sea la misma, para nosotros es válida, son mapas equivalentes. Otra cosa distinta sería si rasgamos el mapa. En este caso, puede que ya no cumpliera su función, ya que dependería mucho de cómo volvemos a pegar los trozos que hemos rasgado.

La base de la Topología es justamente esa: lo que realmente le importa a esta rama de las matemáticas, es la situación de los puntos dentro, en este caso, de una superficie (cual calles en un mapa) y que las trasformaciones que hagamos sobre la superficie sean contraer, dilatar o cualquier otro cambio que no implique romper o rasgar la superficie (trasformación continua). Igual que los mapas a diferentes escalas, estas superficies son equivalentes para un topólogo. Un topólogo no distingue, por ejemplo, entre un balón de baloncesto y un balón de rugby, ya que puede trasformar uno en otro sin romper ni rasgar el balón. En este caso, se podría convertir el balón de rugby en el de baloncesto, «golpeando» los extremos alargados del balón de rugby hasta obtener una esfera. Luego, hinchamos un poco la esfera y ya tendríamos el balón de baloncesto. Hemos convertido una superficie en otra si romper la superficie inicial.

Supongamos ahora que tenemos una pelota de tenis y una rosquilla. En este caso, es completamente imposible convertir una superficie en la otra, ya que o bien le pegamos un trozo a la rosquilla en el agujero que tiene, o agujereamos la pelota de tenis haciendo el hueco que tiene la rosquilla en el centro. Hemos quedado en que ambas operaciones (rasgar y pegar) están prohibidas, por lo que la pelota de tenis y la rosquilla no son superficies equivalentes. Pero por lo menos, hemos encontrado un método para poder decidir si dos superficies son equivalentes o no. Contando el numero de agujeros que tienen. Incluso, podemos visualizar una técnica para averiguar si una superficie es equivalente a otra.

Cogemos una pequeña cuerda, anudada por sus extremos en forma de lazo, con un nudo corredizo. Supongamos ahora que tenemos una superficie, por ejemplo un plano, y dejamos caer el lazo en cualquier parte de él. Ahora, tenemos el lazo descansando en una parte del plano, y nos hacemos la siguiente pregunta: tirando del nudo corredizo, ¿podemos contraer el lazo a un punto, sin salirnos de la superficie?. En este caso sí que podemos hacerlo, da igual si el plano es cuadrado, rectangular o de cualquier forma, ya que en todas  ellas podemos contraer el lazo a un punto sin salirnos del plano. El mismo ejemplo lo podemos aplicar a los balones de baloncesto y de rugby, y a la pelota de tenis y la rosquilla.

Hay partes de la rosquilla en la que si «soltamos» el lazo, se puede contraer a un punto, si ponemos el lazo «encima de la rosquilla». Pero si pasamos el lazo a través del agujero, no tenemos forma de contraer el lazo a un punto. Podremos mover lateralmente el lazo recorriendo la rosquilla o, como mucho, apretar el lazo todo lo que podamos intentando lo imposible, si no queremos romper la rosquilla.

Pero siguiendo esta técnica, podríamos decir lo mismo de un plano y una esfera. En una esfera, cualquier lazo cerrado se puede contraer a un punto. Evidentemente, el plano y la esfera son distintas topológicamente hablando, no son equivalentes, entre otras cosas, porque tienen dimensiones distintas. Sin embargo, basta con eliminar un insignificante punto de la esfera, para que ésta se abra suavemente como un cálida manta para caer y convertirse en un elegante plano.

La más maravillosa rama de las matemáticas, la Topología, combina  el álgebra, el análisis matemático y la combinatoria, entre otras, para clasificar superficies. Superficies, agujeros, lazos, esferas que se convierten en planos……quizás se esté usted preguntando para qué sirve todo esto. Otro día hablaremos de ello, pero permítame que le recomiende una de las mejores películas sobre el tema, para que pueda usted seguir disfrutando de la belleza de la Topología: «Mobius». Espero que la disfrute.

Jose David Villanueva.

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